"Например, Галилей указывал, что если в математике принять бесконечные завершённые множества, то чётных чисел должно быть столько же, сколько чётных и нечётных вместе. Всякому чётному числу можно сопоставить целое число, равное половине его величины, таким образом налицо взаимно однозначное соответствие между элементами того и другого множества". Джозеф У. Даубен «Георг Кантор и рождение теории трансфинитных множеств».
С полным основанием можно сказать, что в натуральном ряду есть число "один", есть число "два" и т. д., но можно и спросить: "А какое же там количество чётных чисел: "два", "четыре», «шесть», ...?". Если это ряд натуральных чисел, то надо полагать, что любое число в этом ряду содержится ровно один раз. В то же время, как цитировано чуть выше ( «Галилей указывал…» ), что всякому чётному числу можно сопоставить целое число. Иными словами, одно и то же число представлено тремя терминами: натуральное, чётное, целое. Предположим, извлечен ряд четных чисел из ряда натуральных чисел, его можно пересчитать, но с чем его поставить во взаимно однозначное соответствие? Похожесть в написании чисел количественных (натуральных) и порядковых (счётных) не может служить основанием для отождествления. Ряд чётных чисел, это числа количественные (натуральные), а могут ли порядковые числа (счётные) служить эквивалентом числам количественным и считаться также множествами того же качества? Как, например, сопоставить шеренгу солдат и команду командира рассчитаться по порядку номеров? Давая команду рассчитаться на первый-второй, строят солдат в две шеренги и сравнивают. Разница очевидна. Каким бы произвольным образом "шеренгу" натуральных чисел нам ни вздумалось перестраивать, маркируя их при этом манипулировании, количество натуральных чисел останется неизменным. Смею предположить, что число количественное, или, что то же самое, – число натуральное, это способ объединения предметов в группу; способ производить счет группами предметов. Однако, перед тем как производить какие-либо вычисления, мы всегда должны отдавать себе отчет в том, каким числом нам предстоит оперировать. Простота аксиом Пеано не должна вводить в заблуждение, а вольница в трактовке бесконечности не должна приводить к анархии. Скрытая тавтология в математике недопустима.
«Фактически Кантор воспользовался указанным Галилеем парадоксом и превратил его в средство количественного сравнения бесконечных множеств. Он назвал два множества эквивалентными, если между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие». Джозеф У. Даубен.
Почему стало возможным, взяв за основу парадокс, превратить его в средство количественного сравнения? Слово "эквивалентность" произнесено. Теперь необходимо продолжить. И продолжили. Установили соответствие. Гениальная догадка оформлена в принцип и теперь ее нам уже растолковывают, чтобы могли многократно повторять и превозносить.
"Используя принцип взаимно однозначного соответствия, Кантор показал, что свойство, которое Галилей рассматривал как парадоксальное, фактически является естественным свойством бесконечных множеств. Множество чётных чисел эквивалентно множеству всех целых положительных чисел, чётных и нечётных, вместе взятых, поскольку объединение в пары элементов каждого из этих множеств может быть осуществлено без опущения каких-либо элементов рассматриваемых множеств" .
Что же это такое, от чего оттолкнувшись, смогли построить теорию множеств: парадокс, принцип, или ошибка? Одному из великих это казалось парадоксом, а другому – принципом.
Весьма интересной окажется цитата из книги И. В. Арнольда "Теоретическая арифметика", 1938 год.
"Для установления взаимно однозначного соответствия достаточно отнести натуральному числу «n» четное число «2n», так, что в двух бесконечных строчках соответствующие элементы находятся в одном столбце. Для того чтобы это утверждение, не казалось слишком ПАРАДОКСАЛЬНЫМ (выделено мной), читателю следует иметь в виду, что равномощность характеризует, грубо говоря, "одинаковую составленность" множеств из своих элементов" .
Иными словами от нас требуют принять некоторую условность как данность или доказанность, иначе могут возникнуть некоторые сомнения или даже парадоксы. Нужно думать так, как вам предлагают. Далее, в продолжение цитаты: "С этой точки зрения приведенный факт представляется вполне естественным" . Отправным моментом всей теории является понятие эквивалентности, взаимно однозначного соответствия, равномощности. Иначе: если в одном из сравниваемых множеств элементов больше, то множества не эквивалентны, не равномощны и не имеют взаимно однозначного соответствия. Поскольку для конечных множеств на этом вопрос и исчерпан, для исследования выбрана бесконечность, где можно безнаказанно спекулировать, передергивать и фантазировать.
«Мы располагаем свободой выбора (liberum arbitrium) для того, чтобы не соглашаться с сомнительными вещами и таким образом избегать заблуждений. Но кто бы нас ни сотворил и как бы ни был он могуществен или коварен, мы, тем не менее, ощущаем в себе свободу неизменно воздерживаться от веры в то, что не полностью исследовано и не вполне достоверно, и таким образом остерегаться какого бы то ни было заблуждения. Рене Декарт "Первоначала философии"
«Недопустимо рассуждать о бесконечном, но следует просто считать беспредельными вещи, у которых мы не усматриваем никаких границ, — таковы протяженность мира, делимость частей материи, число звезд и т. д. Поэтому мы никогда не станем утруждать себя рассуждениями о бесконечном. Действительно, было бы нелепо, поскольку сами мы конечны, давать ему какое бы то ни было определение и, таким образом, как бы пытаться ограничить его и постичь. Следовательно, мы не станем заботиться об ответе тем, кто спрашивает, бесконечна ли также и половина бесконечной линии, четно или нечетно бесконечное число и т. п.: ведь о таких вещах подобает размышлять лишь тем, кто почитает свой ум бесконечным. Мы же, все то, для чего не можем установить в каком-то смысле границы, не будем рассматривать как бесконечное, но лишь как беспредельное. Так, поскольку мы не можем вообразить столь огромную протяженность, чтобы нельзя было постичь возможность существования еще большей, мы скажем, что величина потенциальных вещей неопределенна. И так как нельзя разделить некое тело на столько частей, чтобы отдельные части не мыслились как снова делимые, мы будем считать количественную делимость беспредельной. А поскольку нельзя вообразить себе такое число звезд, чтобы думать, что Бог не может создать еще большее, мы будем предполагать их число также неопределенно большим; то же самое относится и ко всему остальному. Рене Декарт "Первоначала философии" .
«Исследовать надо не конечные, но действующие причины сотворенных вещей» Рене Декарт "Первоначала философии".
Когда разговор идет о натуральном ряде чисел, то прежде всего, имеется в виду: — что это числа основанные на счете предметов; — что это ряд чисел, где приращение от предыдущего числа к последующему равно единице счета и позиционирует один предмет; — что этот ряд имеет начало и не имеет конца; — что любое число натурального ряда чисел в современной интерпретации – множество; — что числа натурального ряда подразделяются на четные, нечетные, простые, составные и прочие; — что если придется перечислять свойства натурального числа, как реальные, так и парадоксальные, сакральные и мистические, то с уверенностью можно сказать – математики за века приложили немало сил, чтобы запутать ситуацию с числом основательно. Что уж такого особенного в этих натуральных числах и почему они ставят так много, порой неразрешимых вопросов? Числа, как числа, а вот метод, который принят при их изучении, предполагает и даже предписывает: разлагать (расчленять, раскладывать, разделять), находить подобные, классифицировать. Классы, группы, подгруппы, вызывают новые вопросы, к решению которых применяют тот же метод – АНАЛИЗ, вынуждающий выстраивать новые результаты «по–ранжиру». Целостная некогда система, самодостаточная в своем выражении, приобретает искусственную форму, именуемую теперь «упорядоченностью», в отличие от онтологической целостности (реальной упорядоченности) именуемой теперь на основании «исследований» – «хаосом». Числа (как числа) будут до тех пор, пока их не разобьют на классы, например числа составные и простые. Составные числа – они простые и нечего с ними разбираться, у них даже делителей различных полным-полно, а вот простые числа – числа не простые. В них загадка сокрыта, они кирпичики мира чисел, числовая, так сказать, аристократия. Они непознаваемы, загадочны, недосягаемы. Вся изощренность математического аппарата бессильна в своем стремлении «раскусить фантомный орех» простоты числа.
Известно, что чисел бесконечно много. Известно, что употребление «термина» бесконечность в математической среде приравнено к моветону. Материал, который здесь приводится, нормальные математики читать не станут и поэтому я, как простой человек, простому человеку могу смело докладывать, употребляя этот термин, что простые числа в натуральном ряду чисел распределены неравномерно и чем дальше в бесконечность, тем все реже они встречаются (хотя, смотря, как смотреть). Именно классификация числа по признаку делимости (простое, составное) и предопределила вопрос: « Есть ли в натуральном ряду чисел последнее простое число? ». Только не понятно, почему задействованы колоссальные вычислительные мощности в поисках самого большого простого числа, если математики древности доказали, что их бесконечно много? Может быть современные математики стали сомневаться в безграничных возможностях самой точной дисциплины или они зашли в тупиковую ее ветвь? Необходимость анализа чисел вылилась в «Теорию чисел».
Не впадая в академизм, я, как простой человек, цитирую из общедоступного источника адаптированной информации. Аристотель в своей «Метафизике» утверждал: «Целое больше, чем сумма его частей» . Однако, источник, поясняя термин «холизм» (др. гр. – целый цельный), как онтологический принцип философии холизма, несколько меняет акценты, формулируя его так: «Целое всегда есть нечто большее, чем простая сумма его частей» . С этой позиции, весь мир – единое целое, а выделяемые нами отдельные явления, объекты, части, элементы и частицы имеют смысл только как часть общности, как его прерывность (дискретность).
Так уж получилось, что наше поколение живет и пользуется условностями Ньютоно–Картезианской парадигмы. Бытовые отношения, как считают простые люди, подтверждаются повседневной практикой. Научные предположения и гипотезы подтверждаются результатами экспериментов, опытов и инструментальных исследований. Один из ключевых методов исследования – анализ, как раз и является исследованием частей целого. Что же говорил об этом методе Рене Декарт, о тех, кто этим методом пользуется и как этот метод должен работать?
ГОВОРЯТ, ЧТО ЭТО, СОЧИНИЛ Р. ДЕКАРТ
«Всякая наука есть достоверное и очевидное познание, и тот, кто сомневается во многих вещах, не более сведущ, чем тот, кто о них никогда не думал, но при этом первый кажется более несведущим, чем последний, если о некоторых вещах он составил ложное мнение; поэтому, лучше не заниматься вовсе, чем заниматься предметами настолько трудными, что, будучи не в состоянии отличить в них истинное от ложного, мы вынуждены допускать сомнительное в качестве достоверного, ибо в этих случаях надежда на приумножение знания не так велика, как риск его убавления. И таким образом, этим положением мы отвергаем все те познания, которые являются лишь правдоподобными, и считаем, что следует доверять познаниям только совершенно выверенным, в которых невозможно усомниться. И как бы ни убеждали себя ученые в том, что существует крайне мало таких познаний, ибо они вследствие некоего порока, обычного для человеческого рода, отказывались размышлять о таких познаниях как слишком легких и доступных каждому, я, однако, напоминаю, что их гораздо больше, чем они полагают, и что их достаточно для достоверного доказательства бесчисленных положений, о которых, до этого времени, они могли рассуждать только предположительно; и поскольку они считали недостойным ученого человека признаться в своем незнании чего-либо, они настолько привыкли приукрашивать свои ложные доводы, что впоследствии мало-помалу убедили самих себя и, таким образом, стали выдавать их за истинные.
Но если мы будем строго соблюдать это правило, окажется очень немного вещей, изучением которых можно было бы заняться. Ибо вряд ли в науках найдется какой-либо вопрос, по которому остроумные мужи зачастую не расходились бы между собой во мнениях. А всякий раз, когда суждения двух людей об одной и той же вещи оказываются противоположными, ясно, что, по крайней мере, один из них заблуждается или даже ни один из них, по-видимому, не обладает знанием: ведь если бы доказательство одного было достоверным и очевидным, он мог бы так изложить его другому, что, в конце концов, убедил бы и его разум. Следовательно, обо всех вещах, о которых существуют правдоподобные мнения такого рода, мы, по-видимому, не в состоянии приобрести совершенное знание, поскольку было бы дерзостью ожидать от нас самих большего, чем дано другим; так что, если мы правильно рассчитали, из уже открытых наук остаются только арифметика и геометрия, к которым нас приводит соблюдение этого правила.
И действительно, нет ничего более бессмысленного, чем заниматься голыми числами и воображаемыми фигурами, так что может показаться, будто мы желаем найти успокоение в познании подобных пустяков, и потом настолько предаться тем поверхностным доказательствам, которые обнаруживаются чаще благодаря случаю, чем искусству, и относятся больше к зрению и воображению, чем к разуму, что мы некоторым образом отучимся пользоваться самим рассудком. В то же время нет ничего более сбивающего с толку, нежели посредством такого способа доказательства освобождаться от новых трудностей, скрытых в путанице чисел. Когда же потом я подумал, откуда же повелось, что первые создатели философии не хотели допускать к изучению мудрости кого-либо несведущего в математике, как будто эта дисциплина казалась им самой легкой из всех и совершенно необходимой для того, чтобы просветить и подготовить умы к освоению других, более возвышенных наук, я вполне утвердился в подозрении, что они знали некую математику, весьма отличную от общепринятой математики нашего времени.
Я добавил также, что энумерация должна быть упорядоченной, как потому, что против уже перечисленных недостатков нет никакого более действенного средства, чем исследовать все по порядку, так и потому, что, если бы, как часто случается, каждую из вещей, относящихся к обсуждаемому предмету, потребовалось рассмотреть в отдельности, не хватило бы никакой человеческой жизни, либо оттого, что эти вещи чрезвычайно многочисленны, либо оттого, что одни и те же вещи слишком часто оказывались бы подлежащими повторению. Но если мы расположим их все в наилучшем порядке, так что большинство их окажется сведенным в определенные классы, будет достаточно либо рассмотреть тщательно один из этих классов, или что-нибудь одно из каждого класса, или некоторые из них прежде, чем прочие, либо, по крайней мере, никогда ничего не просматривать без пользы дважды. Это полезно настолько, что зачастую благодаря правильно установленному порядку за короткое время и без особого труда доводится до конца многое, казавшееся на первый взгляд необъятным». «ПЕРВОНАЧАЛА ФИЛОСОФИИ» РЕНЕ ДЕКАРТ